必要になったので高周波回路関係の知識の勉強と復習をしていた。その道の人が、ケーブルを繋げると「回る」、周波数を変えると「回る」ととにかく「回る」話をしていたので、数学的な背景を確かめた。

高周波回路の設計といえばスミスチャートがおなじみだが、こいつはどこもかしこも円で出来ている。書き方としては複素平面上のグリッドを反射係数の式で変換しただけだ。つまり、直線がどうやら円に移っている。

数学的な背景としてはメビウス変換というのがあるらしい。

https://manabitimes.jp/math/939

(ax+b)/(cx+d)の形の関数で複素数を変換した場合、円は円に移る。直線は円の一種なので当然円に移るという訳だ。納得した。

また、デバイスに伝送線路を繋げるとまず位相が「回る」。これは当然だ。時間遅延が起きるので、それを周波数軸の言葉で語れば位相が回るのは当然だ。

しかし別の話として、インピーダンス値が複素平面上で「回る」。どうも円上を移動するようなのである。

インピーダンスに無損失伝送線路を繋げたとき、全体のインピーダンスは$Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan (\omega\sqrt{CL}l)}{Z_0+jZ_L\tan (\omega\sqrt{CL}l)}$と表せる。今まで全く気付かなかったのだが、この式もまた$\tan (\omega\sqrt{CL}l)$に対するメビウス変換になっているので円円対応が成り立つのである。周波数やケーブル長を変えればtanの中身が変わるが、これは結局複素平面上では直線移動なので円に移ることになる。

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少し前に薬指の先のある点がなぜか痛むという変な症状が起きていたのだが、今日ふと見たらその痛んでいた辺りの皮がマメを潰したかのように剥けていた。想像だが、皮膚の深いところで何かしらの炎症とかが起きていて、ターンオーバーで今出てきたみたいな理屈だろうか？