多様体入門を進めた。今まで連結成分のところで納得行くまでの理解に届かず引っかかっていたのだが、色々小さな補題を頑張って証明した結果だいぶ理解が進んだ。

位相空間における「連結/非連結」は任意の部分集合に対して定義されるものであって、開集合でなくても定義される。「部分集合が2つの開集合で分割できるかどうか」という定義なので定義に開集合は使われているため、そこで混乱してしまっていた。局所連結ならば連結成分が開集合になるが、それはまた別の話。