三つ目が通る(講談社漫画文庫)1巻を読んだ。正直、あんまり肌に合わなかった…
オカルトネタ自体がそこまで好みでないのもあると思うがそれ以上に、古代遺跡の大発見みたいなのがすごいスピードで消費されて何にも残らず終わっていくのが好きじゃない。世界に存在する遺跡には限りがあって、そのそれぞれに一度消えたらもう二度と分からなくなるかもしれない歴史がたくさん記録されているかもしれないわけで、うん、もうちょっと大事にしてくださいよという気持ちががが。
あと、言っちゃうともうどうしようもないけど、写楽のキャラが普通に気に食わない。お前、ばんそうこうはがしたらお前、もうちょっと何か達成してくれよ！という思いが回を重ねるごとに募る。超IQ持ってるのに和登さん以外の要素で結構ポカやってないか？和登さんへの恋心以外で行動を曇らせる要素がないのがキーなんだと最初理解してたけど、なんか普通に相手のフィジカルや策や口先とかの要素で負けたり利用されたりしてる気が。和登さんが止めるオチにしても、恋心以外の要素では負けないでくれよ！と大声で叫びたくなる場合多々。
もろもろ限られたページでの1話完結形式だから仕方ないのかなあ。うーん。
夢を見た。あんまり詳しく覚えれていない。
講義室で何人かがたむろしている。机の上には一面に大きな布がかぶさっている。
手を伸ばすと何かがある。眼鏡である。自分のではない。もう一回手を伸ばす。また眼鏡。また手を伸ばす。また眼鏡。全部誰かのだった。
その眼鏡はどれも黒縁か、赤(朱色)縁か、もしくはその2色のしましまである。
講義室にいた中の若い先生っぽい人に「眼鏡というものはどうしてどれも黒か赤なのでしょう」と問う。すると眼鏡の歴史がどうだこういう仮説がどうだヒントとしてはこうだと並べ立てられる。
そして何らかのイベントが始まる。司会者が壇上で「昨日の夕飯のことを共有しましょう」と言う。自分は適当に歩き回り、爺さんのリモート操作のロボと出くわす。画面に操作者の顔が映っていて、車輪で自由に動けて、イベントにリモートで参加できるやつらしい。自分が「昨日の夕飯を教えてくれませんか」と言うと渋られ、最終的に「実地で会わないと教えられない」と言われる。爺さんのロボがゆっくり変形して背が高くなり、顔が見えなくなる。
以降、あんまりよく覚えていない。
ウィーナー・ヒンチンの定理の証明をやった。結構良い勉強になった。
定理の主張は「Xの自己相関関数をフーリエ変換するとXの電力スペクトル密度になる」というもの。まず電力スペクトル密度(パワースペクトル)などのちゃんとした定義がなかなか見当たらなかったので難儀した。と、いうか、単なる電力スペクトル密度ならば普通にフーリエ変換の絶対値の2乗 $|\mathcal{F}[X(t)](\omega)|^2$ なのだが、無限に続く定常信号を相手取るには単位時間当たりの話にする必要がある。これが掴めてなかった。
$X$の単位時間電力スペクトル密度$S_X(\omega)$は以下のように定義される。
まず
\[ X_T(t) = \left\{ \begin{array}{l} X(t) & (-T/2 < t < T/2) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right. \]
として、
\[ \begin{eqnarray*} S_X(\omega) &=& \displaystyle \lim_{T \to \infty} { \frac{1}{T} \left|\mathcal{F}[X_T(t)](\omega)\right|^2 } \\
&=& \displaystyle \lim_{T \to \infty} \left|{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt }\right|^2 \\
&=& \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt \right) \left( \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt \right)^{\ast} \end{eqnarray*} \]
これが単位時間電力スペクトル密度$S_X(\omega)$だ。
$X$が確率変数の場合はさらに期待値とする必要がある。
\[ E\left[ S_X(\omega) \right] \]
自己相関関数は片方で複素共役をとるのが複素数も考慮した正しい定義らしい。内積と似たようなもんか。
\[ \displaystyle R_X(\tau)=E[ X(t)X^{\ast}(t-\tau) ] \]
なんか文献によっては期待値じゃなくて時間平均？っぽい$\displaystyle R_X(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} X(t)X^{\ast}(t-\tau) dt$みたいな定義だったりもするんだよな。$X$が確率変数かどうかという話？
とにかく、あとはやるだけ。
\[ \displaystyle \begin{eqnarray*} E\left[ S_X(\omega) \right] &=&
E \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt \right) \left( \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt \right)^{\ast} \right] \\
&=&
E \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} X(t) e^{-j\omega t} dt \right) \left( \int_{-T/2}^{T/2} X^{\ast}(t) e^{j\omega t} dt \right) \right] \\
&=&
E \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \int_{-T/2}^{T/2} X(t_1) X^{\ast}(t_2) e^{-j\omega (t_1 – t_2)} dt_1 dt_2 \right) \right] \\
&=&
E \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \int_{t+T/2}^{t-T/2} X(t) X^{\ast}(t – \tau) e^{-j\omega \tau} (-d\tau) dt \right) \right] \\
&=&
E \left[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \int_{t-T/2}^{t+T/2} X(t) X^{\ast}(t – \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau dt \right) \right] \\
&=&
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \int_{t-T/2}^{t+T/2} E \left[ X(t) X^{\ast}(t – \tau)\right] e^{-j\omega \tau} d\tau dt \right) \\
&=&
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \int_{t-T/2}^{t+T/2} R_X(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau dt \right) \\
&=&
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau \right) dt \right) \\
&=&
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-T/2}^{T/2} \mathcal{F} \left[ R_X(\tau) \right] (\omega) dt \right) \\
&=&
\mathcal{F} \left[ R_X(\tau) \right] (\omega) \\
\end{eqnarray*} \]
最後はフーリエ変換の値が時間非依存であることを用いて時間平均を取っ払った。
途中で期待値の順番思いっきり入れ替えて極限と積分の中に入れちゃったけど多分問題ないよね…(不安)
胎界主読んだ。
本当に何の参考にもならなかったな…(落胆)
「何の参考にもならない」は東郷善vsHEAD部隊の場面でもあったな。意味合いとしてはどういうアレなんだろう。
阪四親子は生きてるのかコレ。
Categories: 未分類